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Yuki's Diary 日記

英語で数と式

noteにこの記事を書いてあったんですが、こちらのブログにMathJaxを入れて\(\LaTeX\)記法を使って作り直しました。

算数や数学で出てくる言葉の英語を集めてみました。数学的厳密性にはあまりこだわってません…。

\(0\)と、 \(−1, −2, −3, \cdots\) と、\(1, 2, 3, \cdots\) を整数 (integer) 、正の整数を自然数 (natural number) といいます。 \(0\)と自然数のことを whole number といいます。正負の符号を取った数を絶対値 (absolute value) といい、 \(|3|, |-4|, \cdots \) のようにあらわします。

整数には、\(2\)で割り切れる偶数 (even number) と、\(2\)で割り切れない奇数 (odd number) があります。

すべての自然数は、いくつかの素数 (prime number) の因数 (factor) の積 (product) であらわされます。たとえば、 \(12 = 2^2\times 3\) のようにあらわされます。このようにあらわすことを素因数分解 (prime factorization) といいます。

ある自然数について、\(1\)と、その数の素因数を一部または全部掛け合わせたものを、その数の約数 (divisors) といいます。たとえば、 \(12\) の約数は\(1, 2, 3, 4, 6, 12\)です。素数の約数は\(1\)とその数自身の2つだけです。\(1\)以外の自然数は必ず約数を複数もちます。約数が3つ以上ある自然数のことを合成数 (composite number) といいます。

複数の自然数について、それぞれ素因数分解したときに、共通の素因数があったとき、それらを公約数 (common factors / common divisors) といいます。公約数のうち最大のものを最大公約数 (greatest common divisor = GCD) といいます。たとえば\(12(=2^2\times 3)\)と\(18(=2\times 3^2)\)の公約数は\(1, 2, 3, 2\times 3(=6)\)の4つで、GCDは\(6\)になります。

複数の自然数について、それぞれの倍数 (multiples) のうち共通のものがあったとき、それらを公倍数 (common multiples) といいます。公倍数のうち最小のものを最小公倍数 (least common multiple = LCM) といいます。たとえば \(4(=2^2)\) と \(6(=2\times 3)\) の公倍数は \(2^2\times 3(=12), 24, 36, 48, \cdots\) で、LCMは\(12\)になります。

分数、小数

整数でない数の代表として、分数 (fraction) と小数 (decimal) があります。

分数 (fraction) は、横線や斜線を引いてその上下や前後に数を置いた形のもので、上や前の数を分子 (numerator) 、下や後ろの数を分母 (denominator) といいます。

英語では、\(\frac{1}{2}\)のことをhalf、分母が3以上のときは、
\(\frac{1}{3}\)のことをthird
\(\frac{1}{4}\)のことをfourth
\(\frac{1}{5}\)のことをfifth、…
のように、序数であらわします。ですので\(\frac{1}{6}\) なら「1つの\(\frac{1}{6}\) (one sixth) 」、 \(\frac{5}{9}\)なら「5つの\(\frac{1}{9}\) (five ninths) 」と読みます。

\(3\frac{3}{4}\) などのように整数を分数の前につけた形のものを帯分数 (mixed number) といいます。読み方は「三と四分の三 (three and three fourths) 」のように読みます。

分母と分子を入れ替えた数のことを逆数 (reciprocal) といいます。\(\frac{3}{4}\)の逆数は\(\frac{4}{3}\)です。

小数 (decimal) とは小数点 (decimal point) をつけてその前後に数字をあらわした数で、小数点の左側に
一の位 (ones)
十の位 (tens)
百の位 (hundreds)
千の位 (thousands)
一万の位 (ten thousands)
十万の位 (hundred thousands)
百万の位 (millions) …
のような数字を置きます。

小数点の右側には、
十分の一の位 (tenths)
百分の一の位 (hundredths)
千分の一の位 (thousandths)
一万分の一の位 (ten thousandths)
十万分の一の位 (hundred thousandths)
百万分の一の位 (millionths) …
の数字を置きます。

読み方は、\(5.2\)なら「五点二 (five point two) 」あるいは「\(5\)と、2つの\(1/10\) (five and two tenths) 」と読みます。\(7.29\)なら「七点二九 (seven point two nine) 」あるいは「\(7\)と、\(29\)個の\(1/100\) (seven and twenty-nine hundredths) 」、\(63.174\) なら「六十三点一七四 (sixty-three point one seven four) 」あるいは「\(63\)と、\(174\)個の\(1/1000\) (sixty-three and one hundred seventy-four thousandths) 」のように読みます。

実数、複素数

整数と整数の間の連続する部分を含んだ数のことを実数 (real number) といいます。実数のうち、分数であらわせる数のことを有理数 (rational number) 、そうでないものを無理数 (irrational number) といいます。円周率 (\(\pi\)) が無理数の代表的なものです。 

\(\sqrt{-1}=i\)を含む数のことを虚数 (imaginary number) とよび、実数と虚数をあわせたものを複素数 (complex number) といいます。\(i\) のことを虚数単位 (imaginary unit) といいます。虚数単位は \(j\) であらわすこともあります。

演算

数は、
・掛け算 (multiplication)
・割り算 (division)
・足し算 (addition)
・引き算 (subtraction)
などの乗除加減 (MDAS) といった演算 (operation) ができます。

掛け算 (multiplication) は、\(3 \times 2\) のような形で、\(3\) をかけられる数 (multiplicand) 、\(2\) をかける数 (multiplier) とよびます。読み方は「\(3\) times \(2\)」あるいは「\(3\) multiplied by \(2\)」といいます。掛け算の結果を (product) といいます。掛け算は交換法則 (commutative property) が成り立つので、\(3 \times 2 = 2 \times 3\) になります。また結合法則 (associative law) により、\(3 \times (2 \times 4) = (3 \times 2) \times 4\) になります。

割り算 (division) は、\(13 \div 4\) などの形で、この\(13\)の部分を割られる数 (dividend) 、\(4\)を割る数 (divisor) といいます。読み方は「\(13\)割る\(4\) (\(13\) divided by \(4\)) 」で、この結果(\(3\)余り\(1\))の\(3\)を (quotient) 、\(1\)を剰余 (remainder) といいます。

足し算 (addition) は、 \(1 + 2\) のような形で、足した結果のことを (sum) といいます。掛け算と同じく、足し算も交換性 (commutativity) と結合性 (associativity) をもちます。

引き算 (subtraction) は \(8 − 2\) のような形で、\(8\)を引かれる数 (minuend) 、\(2\)を引く数 (subtrahend) とよび、結果のことを (difference) といいます。

\((4 + 3) × 2 = 4 × 2 + 3 × 2\) になります。これを分配法則 (distributive property) とよびます。

べき乗 (exponent) とは、同じ数を複数回掛け算したもので、\(2 \times 2 \times 2\) は \(2^3\) のようにあらわします。読み方は「二の三乗 (two raised to the third power / two raised to the power of three / the third power of two) 」のようになります。この\(2\)の部分を (base) 、\(3\)の部分をべき指数 (exponent または power) といいます。

演算の順序は、PEMDASと覚えます。

Pはかっこ (parenthesis)
Eはべき乗
MDは掛け算と割り算
ASは足し算と引き算
です。

優先順位は P > E > MD > AS の順です。

たとえば、\( 1 + (2 \times 3)^2 \div 4 – 2 \) の計算は、

\[ 1 + (2 \times 3)^2 \div 4 -2 \\ = 1 + 6^2 \div 4 -2 \\ = 1 + 36 \div 4 -2 \\ = 1+9-2 \\ = 8 \]

のようになります。

べき根 (radical) は、根号 (radical sign / radix) をつけてあらわします。

\(\sqrt{2}\) のように根号をつけたものを平方根 (square root) 、 \(\sqrt[3]{2}\) のようなものを立方根 (cube root) 、 \(\sqrt[n]{2}\) のようなものをn乗根 (n-th root) といいます。 

\(\sqrt{200}\) を \(10\sqrt{2}\) に書き換えるようなことを、根号の中を簡単にする (simplify radicals) といいます。小数の形でべき根の近似値を求めることを、開方 (evolution) といいます。分母を有理数に書き換えることを、分母を有理化する (rationalize denominators) といいます。

定数と変数

いままであげてきたのは、値がつねに一定な定数 (constant) とよばれるものでしたが、それに対して、値が変わる数のことを、変数 (variable) といいます。

変数は、 \(x\) や \(y\) などの文字であらわします。

変数に定数を入れることを「\(x\) \(5\) を代入する (substitute \(5\) for \(x\)) 」のように言います。

\(4 \times x\) のことを \(4x\) のようにあらわします。ここの \(4\) の部分を係数 (coefficient) といいます。

多項式

\(x^2-4x+1\) のような、文字や数やべき乗を交えて足し引きした式を多項式 (polynomial) といいます。多項式は複数の (term) を足したものです。

項が1つだけの式を単項式 (monomial) 、項が2つの式を二項式 (binomial) 、項が3つの式を三項式 (trinomial) といいます。

多項式には次数 (degree) があり、\(3x^2-8x^4+x^5\) の次数は5次 (5th degree) になります。 \(3x − 2\) は一次多項式 (1st degree polynomial) 、 \(8\) は0次多項式 (zero degree polynomial) です。

\(x^2+3x+2=(x+1)(x+2)\) のように、多項式を因数の積 (product of factors) の形に書き換える作業のことを因数分解 (factoring) といいます。

方程式と不等式

\[ 3x-4=2x+5 \]

のように、変数 \(x\) にある特定の数を入れた場合にのみ等式が成り立つような式のことを方程式 (equation) と呼びます。

この方程式を満たす \(x\) を求めることを、方程式を解く (solve) といい、解いた結果のことを (root) あるいは (solution) といいます。

方程式は一般に \(f(x) = 0\) の形式であらわされます。この \(f(x)\) が一次多項式のものを一次方程式 (linear equation) 、二次多項式のものを二次方程式 (quadratic equation) といいます。

二次方程式

\[ ax^2+bx+c=0 \]

には解の公式 (quadratic formula) 

\[ x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

があります。

\(b^2-4ac > 0\) の場合は、解は実数2つになります。\(b^2-4ac = 0\) の場合は、解が1つ (重解) 、 \(b^2-4ac < 0\) の場合は、虚数2つが解となります。

等号ではなく不等号がついている形式で、変数 \(x\) がある特定の範囲をとった場合にのみ成り立つような式のことを不等式 (inequality) と呼びます。

\(x \ge 1\) のことを「\(x\) 大なりイコール \(1\)  (\(x\) is greater than or equal to \(1\)) 」、\(x < 3\) のことを「\(x\) 小なり \(3\) (\(x\) is less than \(3\)) 」と読みます。

関数

関数 (function)  \(y = f(x)\) を \(x\)−\(y\) 座標上にあらわしたグラフ (graph) をよく目にします。 \(x\) (\(x\)-axis) を横線、 \(y\) (\(y\)-axis) を縦線にすることが多いです。そこにプロット (plot) された点の位置を \((2, 3)\) のような座標 (coordinate) であらわします。

\((2, 3)\)とは\(x\)座標\(0\)の位置から\(x\)軸にそって \(+2\) 、 \(y\)座標\(0\)の位置から\(y\)軸にそって\(+3\)移動させた位置を示します。

座標 \((0, 0)\) を原点 (origin) といいます。

\( f(x)=ax+b\) (\(a\neq 0\))のような関数を一次関数 (line) といいます。一次関数 \(y = ax + b\) をグラフ上にあらわすと直線の形になります。\(a\)を傾き (slope) といい、座標 \((0, b)\) を \(y\)切片 (\(y\)-intercept) といいます。このグラフが\(x\)軸を交差する点 \((−b/a, 0)\) を\(x\)切片 (\(x\)-intercept) といい、ここの\(x\)座標 \(x = −b/a\) こそが、一次方程式 \(ax + b = 0\) の解にほかなりません。

\( f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0\))のような関数をのような関数を二次関数 (parabola) といいます。

二次関数 \(y=ax^2+bx+c\) をグラフ上にあらわすと、ある点を境に左右対称に両側に上向きに立つ ( \(a > 0\) の場合) か下向きに立つ ( \(a < 0\) の場合) ような形になります。\(y=ax^2+bx+c\) をプロットしたとき、\(x\)軸と交わる点が2個ある場合と、1個しかない場合と、1個もない場合とがあります。2個ある場合は、二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解は実数2つになります。1個しかない場合は、解が1つ (重解) 、1個もない場合は、虚数2つが解となります。

関数 \(y = f(x)\) に対し、 \(x=f^{-1}(y)\) とあらわすことができる場合、このような\(x\)を逆関数 (inverse function) といいます。

対数

関数 \(y=a^x\) (\(a>1\))のようなものを指数関数 (exponential) といいます。指数関数の逆関数は \(y=\log_ax\) となり、このような関数を対数 (logarithm) といい、\(a\)を (base) といいます。

\(a = 10\) のときは特別に \(y=\log x\) とあらわします。これを常用対数 (common logarithm) といいます。

さて、\($1\)を年利100%で運用していくと、1年後には \(1 \times (1 + 1) = $2\) になります。これを半年につき50%の複利で運用することにすると、1年後には \( 1\times (1+0.5)^2 = $1.5^2 = $2.25\) になります。3ヶ月につき25%の複利にすると1年後は \( 1\times (1+0.25)^4 = $1.25^4 = $2.4414062\cdots\) となります。毎月 \(\frac{100}{12}\)%の複利にすると1年後は \( 1\times (1+1/12)^{12} = $2.6130352\cdots\) となります。

それではどんどん期間を細かく区切って複利にしていけば1年後の利息がどこまでも増えていくかといえば、そうはならず、あるところで止まってしまいます。たとえば、1年を100分割して各期ごとに1%の複利にすると1年後には \( 1\times (1+1/100)^{100} = $2.7048138\cdots\) 、1年を10000分割して各期ごとに1%の複利にすると1年後には \( 1\times (1+1/10000)^{10000} = $2.7181459\cdots\) のように、だんだん期間を細かくしていくと1年後の金額は\(2.7182818\cdots\) という無理数に近づいていき、どんなに期間を細かくしてもこの数以上には増えないことになります。

この\(2.7182818\cdots\)のことを\(e\)という文字であらわします。この\(e\)のことをオイラー数 (Euler’s number) あるいはネイピア数 (Napier’s constant) ともいいます。

対数関数 \(y=\log_ax\) において、 \(a=e\)のときは \(y=\ln x\) とあらわします。これを自然対数 (natural logarithm) といいます。\(e\)は自然対数の底になります。

数列と級数

数列 (sequence) とは、 \(\{1, 4, 9, 16, 25, 36, …\}\) や \(\{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …\}\) のように、あるパターンに 従った一続きの数たちのことです。

数列 \(\{a_1, a_2, a_3, …\}\) のそれぞれのことをその数列の (term) といいます。前者の数列は \(a_n=a^n\) 、後者はフィボナッチ数 (Fibonacci Number) といい、 \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\) のように一般にあらわされます。

\(\{0, 3, 6, 9, 12, …\}\) や \(\{10, 5, 0, −5, −10, …\}\) のように、項と項の間の差 (difference) が同じになる数列を等差数列 (arithmetic sequence) といいます。前者の数列を一般的な式であらわすと \(a_n=3n-3\) 、後者の数列は \(a_n=10-5(n-1) = -5n+15\) となります。

\(\{3, 6, 12, 24, …\}\) や \(\{\frac{3}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{27}, -\frac{4}{243}, …\}\) のように、項にある比率 (ratio) を掛け算して次の項にしていくような数列のことを等比数列 (geometric sequence) といいます。前者は \( a_n = 3 \times 2^{n-1}\) 、後者は \( a_n = \frac{3}{2}(-\frac{2}{9})^{n-1} \) です。

数列の和 (sum) のことを級数 (series) といいます。級数はギリシャ文字の\(\sum\)をつかってあらわすのが一般的です。
等差数列の和のことを等差級数または算術級数 (arithmetic series) といいます。

数学者 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) という人はその昔、9歳の頃、 \(1 + 2 + 3 + \cdots + 99 + 100\) まで順に足していったらどうなるか、その答えを導き出して大いに驚かれたといいます。その種明かしは、一番端っこの\(1\)と\(100\)を足すと\(101\)、1つ内側の\(2\)と\(99\)を足すとこれも\(101\)、そのまた内側の\(3\)と\(98\)を足してもこれも\(101\)、\(\cdots\)というふうに、足して\(101\)になるペアが\(50\)組あることに着目し、 \(101 × 50 = 5050\) と計算したのでした。

このように、一般に、\(1\)から\(n\)までの足し算は、足して\(n + 1\)になるペアが\(n/2\)個あることになります。つまり等差級数

\[ \sum_{k=1}^nk = 1+2+\cdots +(n-1)+n \\ = (n+1)\left(\frac{n}{2}\right) \\ = \frac{n(n+1)}{2} \]

となります。

等比数列の和を等比級数または幾何級数 (geometric series) といいます。一般に、等比数列 \(\{a_1, a_1r, a_1r^2, a_1r^3, … \}\) の和

\[ \sum_{k=1}^na_1r^{k-1} = a_1\frac{1-r^n}{1-r} \]

になります。これを証明する (prove) のに、まず \(n = 1\) の場合について考えます。

\[ \sum_{k=1}^1a_1r^{k-1} = a_1\frac{1-r^1}{1-r} = a_1 \]

なので、 \(n = 1\) の場合について成り立ちます。次に、 \(n = k\) のときに 

\[ \sum_{k=1}^ka_1r^{k-1} = a_1\frac{1-r^k}{1-r} \]

(true) だと仮定したとき、 \(n = k + 1\) のときもそれが真かどうかをみます。

\[ \begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{k+1}a_1r^{k-1} &=& a_1\frac{1-r^k}{1-r}+a_1r^{(k+1)-1} \nonumber \\ &=& a_1\frac{1-r^k}{1-r}+a_1r^k \nonumber \\ &=& a_1\left(\frac{1-r^k}{1-r}+r^k\right) \nonumber \\ &=& a_1\left\{\frac{1-r^k}{1-r}+\frac{(1-r)r^k}{1-r}\right\} \nonumber \\ &=& a_1\frac{1-r^k+r^k-r^{k+1}}{1-r} \nonumber \\ &=& a_1\frac{1-r^{k+1}}{1-r} \nonumber \end{eqnarray} \]

となるので、 \(n = k + 1\) でも真であることがわかります。 \(n = 1\) のとき真で、 \(n = k\) のときに真と仮定したものが \(n = k + 1\) でも真の場合、すべての場合について真であることが証明できます。このようなやり方を数学的帰納法 (mathematic induction) といいます。

集合

数の集まりのことを集合 (set) といいます。上記の数列 \(\{1, 4, 9, 16, 25, 36, …\}\) や \(\{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …\}\) や、\(12\)の約数の集まり \(\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\) なども集合の一種です。集合は、\(\{1, 2, 3, 4\}\) や、 \(\{2, -3, 4, -5, 6\}\) のように、中かっこ (set brackets あるいは braces) でくくってあらわします。

集合を構成する1つ1つのことを集合の要素 (element) あるいは (member) といいます。要素同士はコンマで区切ってあらわします。

要素が無限に続くときは、\(\{3, 6, 9, …\}\) のように、ドット3つであらわします。これを ellipsis といいます。

集合\(A\)が \(A=\{1, 2, 3\}\) であるとき、\(1\)は集合\(A\)の要素であり、\(1\in A \)のようにあらわします。また\(5\)は集合\(A\)の要素ではないので、 \(5\notin A\) のようにあらわします。

要素のない集合のことを空集合 (empty set) といい、\(\emptyset\) であらわします。

2つの集合 \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) 、 \(B = \{4, 6, 8, 10\}\) があったとき、その少なくともどちらかに属している元の集合、この場合だと \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}\) のことを\(A\)と\(B\)の和集合 (union) といい、\(A\cup B\) のようにあらわします。集合\(A\)、\(B\)のどちらにも属している元の集合、この場合だと \(\{4, 6\}\) のことを\(A\)と\(B\)の共通部分 (intersection) といい、\(A\cap B\) のようにあらわします。

\(A-B = \{1, 2, 3, 5\}\) のことを集合の (difference) といい、\(A\)の元のうちから\(B\)の元となるものを取り除いた集合になります。

さてそうしたときにあらためて関数というものを考えてみると、関数とは、集合\(A\)の元から集合\(B\)の元へマッチングさせる方法のことということもできます。集合\(A\)の1つの元から集合\(B\)の複数の元をさすようなものは関数とはいいません。ただし\(A\)の複数の元から\(B\)の同じ元をさすことはあります。

関数\(y=f(x)\) について、\(x\)の範囲のことを定義域あるいは領域 (domain) といいます。それに対して、対応する\(y\)の範囲のことを値域 (range) と言います。

集合\(A\)の複数の元が集合\(B\)の同じ元をさすことがない関係を単射 (injective)といいます。\(B\)のすべての元が\(A\)の少なくとも1つの元からさし示される関係を全射 (surjective) といいます。全単射 (bijective) とは、単射でありかつ全射である関係のことです。つまり\(A\)の元も\(B\)の元もすべて相手がおり、孤立した元がない状態になります。全単射の関数には逆関数が存在します。

三角関数

三角関数 (trigonometric function) の基本は余弦 (cosine) 、正弦 (sine) 、正接 (tangent) で、それぞれ \(\cos\theta\) 、\(\sin\theta\)、\(\tan\theta\) のように書きます。\(\theta\) は (degree) やラジアン (radian) であらわします。

直角三角形 (right triangle) \(\triangle\) ABC において、 (angle) \(\angle\)ACB が直角 (rectangle) とするとき、辺 (side) ABのことを斜辺 (hypotenuse) といいます。\(\angle\)ABCの角度を\(\theta\)とし、辺ABの長さを \(h\)、\(\angle\)ABCの対辺 (opposite side) ACの長さを\(o\)、辺BCの長さを\(a\)とすると、

\[ \cos\theta = \frac{a}{h}, \sin\theta = \frac{o}{h}, \tan\theta = \frac{o}{a} \]

となります。

\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\)、\(\tan\theta\) の逆数 (reciprocal) をそれぞれ正割 (secant) 、余割 (cosecant) 、余接 (cotangent) といい、それぞれ \(\sec\theta\)、\(\csc\theta\)、\(\cot\theta\) と書きます。つまり

\[ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \\ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} \\ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} \]

です。

\[ \begin{eqnarray} \sin\theta & = & \pm \sqrt{1 – \cos^2\theta} \nonumber \\ \tan\theta & = & \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \nonumber \\ & = & \pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{\cos\theta} \nonumber \\ \sec\theta & = & \frac{1}{\cos\theta} \nonumber \\ \csc\theta & = & \frac{1}{\sin\theta} \nonumber \\ & = & \pm\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\theta}} \nonumber \\ & = & \pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\theta}}{1-\cos^2\theta} \nonumber \\ \cot\theta & = & \frac{1}{\tan\theta} \nonumber \\ & = & \pm\frac{\cos\theta}{\sqrt{1-\cos^2\theta}} \nonumber \\ & = & \pm\frac{\cos\theta}{1-\cos^2\theta}\sqrt{1-\cos^2\theta} \nonumber \end{eqnarray} \]

となるので、すべての三角関数は\(\cos\)だけで書きあらわすことができます。

\(x=\cos\theta\)、\(x=\sin\theta\)、\(x=\tan\theta\) の逆関数 (inverse function) はそれぞれ\(\theta=\arcsin x\)、\(\theta = \arccos x\)、\(\theta = \arctan x\) と書きます。

双曲線関数

双曲線余弦関数 (hyperbolic cosine) 、双曲線正弦関数 (hyperbolic sine) は、以下のようにあらわされます。

\[ \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} \\ \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \]

双曲線正接関数 (hyperbolic tangent) は、

\[ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]

であらわされます。

\(\cosh x\)、\(\sinh x\)、\(\tanh x\) の逆数 (reciprocal) をそれぞれ双曲線正割関数 (hyperbolic secant) 、双曲線余割関数 (hyperbolic cosecant) 、双曲線余接関数 (hyperbolic cotangent) といい、それぞれ \(\mathrm{sech}\ x\)、\(\mathrm{csch}\ x\)、\(\coth x\) と書きます。

極限値・微分・積分

関数 \(f(x)=\frac{1}{x}\) について、変数 \(x\) を無限大 (infinity) に近づけていくと\(0\)に収束 (converge) します。このことを

\[\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} = 0\]

のような式であらわします。このような値を極限値 (limit) といいます。この関数を正の側、負の側から0に近づけていくと

\[ \begin{eqnarray} \lim_{x\to+0}\frac{1}{x} & = & \infty \nonumber \\ \lim_{x\to-0}\frac{1}{x} & = & -\infty \nonumber \end{eqnarray} \]

のように、それぞれ正の無限大 (positive infinity) 、負の無限大 (negative infinity) に発散 (diverge) します。

余弦関数 (cosine function) \(f(x)=\cos x\) のような関数の場合は、常に\(+1\)と\(-1\)の間を行ったり来たりするので、\(x\)を無限大に近づけても収束も発散もしません。このように、極限値が確定しないことを振動する (oscillate) といいます。

関数\(f(x)\)の、\(x=t\)における傾き (slope) をみてみましょう。\(x=t\)における傾きは、\(t\)から微小値ずれた\(t+\Delta t\)における関数\(f(t+\Delta t)\)と、\(t\)における関数\(f(t)\)との差を求め、それを\(\Delta t\)で割ったものを、\(\Delta t\)を\(0\)に近づけた極限値

\[ \lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{t+\Delta t-t} \]

として求められます。一般に、\(x\)における\(f(x)\)の傾きは

\[ \lim_{\Delta t\to 0}\frac{f(x+\Delta t)-f(x)}{\Delta t} = \frac{df(x)}{dx} \]

となります。このような\(\frac{df(x)}{dx}\)のことを関数\(f(x)\)の導関数 (derivative) といい、\(f'(x)\)であらわすこともあります。\(f(x)\)の導関数を求めることを\(f(x)\)を微分する (differentiate) あるいは\(f(x)\)の微分 (differentiation) といいます。

関数\(f(x)\)において、\(x=a\)のところで、辺の長さが \(\Delta x\) と\(f(a)\)との長方形を考え、その面積を求めると、\(f(a)\Delta x\)になります。次に、 \(x=a+\Delta x\) のところで、辺の長さが \(\Delta x\) と \(f(a+\Delta x)\)との長方形の面積 \(f(a+\Delta x)\Delta x\) を求めます。次に、 \(x=a+2\Delta x\) のところで、一辺の長さが \(\Delta x\) と \(f(a+2\Delta x)\) との長方形の面積 \(f(a+2\Delta x)\Delta x\) を求めます。同じようにして、\(x=b\) \((a<b)\) のところまで、辺の長さが \(\Delta x\) と \(f(x)\) の長方形の面積を求め、足し合わせると、

\[ f(a+\Delta x)\Delta x + f(a+2\Delta x)\Delta x + f(a+3\Delta x)\Delta x \\ + \cdots + f\left( a+\left( \frac{b-a}{\Delta x}-1\right)\Delta x\right)\Delta x \\ = \sum_{k=1}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}f(a+k\Delta x)\Delta x \]

となります。ここで\(\Delta x\)を\(0\)に近づけると

\[ \lim_{\Delta x\to 0} \sum_{k=1}^{\frac{b-a}{\Delta x}-1}f(a+k\Delta x)\Delta x = \int_a^bf(x)dx \]

のように、積分記号 (integral symbol) を使ってあらわします。このように、関数 \(f(x)\) について、\(a\)から\(b\)までの区間を微小な区間に区切って、その微小区間ごとに長方形の面積を求めて足し合わせることを\(a\)から\(b\)まで積分する (integrate from \(a\) to \(b\)) といいます。このように、区間を定めて積分することを定積分 (definite integration) 、区間を定めないで積分することを不定積分 (indefinite integration) といいます。不定積分の場合は

\[ \int\frac{1}{x}dx = \ln |x| + C \]

のように、定数 \(C\) が発生します。これを積分定数 (constant of integration) といいます。

関数 \(f(x_1, x_2, \cdots x_n)\) のような、複数の変数をもつ関数において、ある1つの変数(たとえば \(x_1\) )のみに着目し、他の変数を定数とみなした状態での導関数のことを偏導関数 (partial derivative) といい、偏導関数を求めることを偏微分する (partially differentiate) あるいは名詞で偏微分 (partial differentiation) といい、 \( \frac{\partial}{\partial x_1}f(x_1, x_2, \cdots x_n) \) のようにあらわします。たとえば \( z = x^2 + y^2 + y \) を \(x\) 、\(y\) について偏微分するとそれぞれ

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \\ \frac{\partial z}{\partial y} = 2y+1 \]

となります。

\[ \int\int\cdots\int_Df(x_1, x_2, \cdots x_n)dx_1dx_2\cdots dx_n \]

のように、積分記号を複数使って関数 \(f(x_1, x_2, \cdots x_n)\)の積分を求めることを重積分 (multiple integral) といいます。ここで \(D\) は積分領域 (integral domain) といいます。積分記号を2個使った積分を二重積分 (double integral) 、積分記号を3個使った積分を三重積分 (triple integral) といいます。重積分は定積分だけであり、不定積分はありません。

複素数の関数(複素関数)も同様に微分、積分することができます。例えば \(z = x+iy\) ( \(x, y\) は実数、\(i\) は虚数単位)のときも関数 \(f(z)=z^2 + z + 1\) の微分は \(df(z)/dz = 2z+1\) になります。

複素関数 \(f(z) = u(x,y)+iv(x,y)\) について、

\[ \frac{\partial u}{\partial x}(x, y) = \frac{\partial v}{\partial y}(x, y) \]

\[ \frac{\partial u}{\partial y}(x, y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x, y) \]

が成り立ちます。これらをコーシー・リーマンの方程式 (Cauchy–Riemann equations) といいます。また

\[ \frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \]

\[ \frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2} = 0 \]

が成り立ちます。これらをラプラス方程式 (Laplace’s equations) といいます。

複素関数の積分は、実数部分を横軸に、虚数部分を縦軸にとった複素平面 (complex plain) を使って考えます。実関数の積分は1次元の区間(積分区間)の中で積分しますが、複素関数の場合は複素平面の上を二次元的に経路を通って積分します。

始点から複素平面上を1周ぐるっと回って元の位置に戻る経路で積分したときは、積分結果は \(0\) になります。ただし複素平面上のある点を囲むような経路で積分したときは、元の位置に戻っても積分結果は \(0\) になりません。そのような点のことを特異点 (singularity) といいます。また特異点を囲む経路で積分した結果のことを留数 (residue) といい、\( \mathrm{Res}(f, a) \) あるいは \( \mathrm{Res}_a(f) \) とあらわします( \(f(z)\) は複素関数、\(z=a\) は特異点)。

参考

Math is Fun
Wikipedia各種ページ

By Masayuki (Yuki) Kawagishi

A telco worker. A wannabe life hacker seeking lifestyle X-formation. He/Him. Tokyo, JP.

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