英語で数と式

算数や数学で出てくる言葉の英語を集めてみました。数学的厳密性にはあまりこだわってません…。

 

数(number)にはいろいろな種類があります。0より大きい数を正の(positive)数、0より小さい数を負の(negative)数といいます。

0と、-1、-2、-3…と、1、2、3…を整数(integer)、正の整数を自然数(natural number)といいます。0と自然数のことをwhole numberといいます。正負の符号を取った数を絶対値(absolute value)といいます。

整数には2で割り切れる偶数(even number)と、そうでない奇数(odd number)があります。すべての自然数は、いくつかの素数(prime)の因数(factor)の積(product)であらわされます。このようにあらわすことを素因数分解(prime factorization)といいます。ある自然数について、1と、その数の素因数を一部または全部掛け合わせたものをその数の約数(divisor)といいます。約数が3つ以上ある自然数を合成数(composite number)といいます。素数の約数は1とその数自身だけです。

複数の自然数について、それぞれ素因数分解したときに共通の素因数があったとき、それらを公約数(common factor/common divisor)といいます。公約数のうち最大のものを最大公約数(greatest common divisor = GCD)といいます。複数の自然数について、それぞれの倍数(multiples)のうち共通のものがあったとき、それらを公倍数(common multiples)といいます。公倍数のうち最小のものを最小公倍数(least common multiple = LCM)といいます。

整数でない数の代表として、小数(decimal)と分数(fraction)があります。小数とは小数点(decimal point)をつけてその前後に数字をあらわした数で、小数点の左側に一の位(ones)、十の位(tens)、百の位(hundreds)、千の位(thousands)、一万の位(ten thousands)、十万の位(hundred thousands)、百万の位(millions)…のような数字を置きます。小数点の右側には、十分の一の位(tenths)、百分の一の位(hundredths)、千分の一の位(thousandths)、一万分の一の位(ten thousandths)、十万分の一の位(hundred thousandths)、百万分の一の位(millionths)…の数字を置きます。読み方は、5.2なら「五点二(five and two tenths / five point two)」、7.29なら「七点二九(seven and twenty-nine hundredth / seven point two nine)」、63.174なら「六十三点一七四(sixty-three and one hundred seventy-four thousandths / sixty-three point one seven four)」のように読みます。

分数は、横線や斜線を引いてその上下や前後に数を置いた形のもので、上や前の数を分子(numerator)、下や後ろの数を分母(denominator)といいます。読み方は、1/6なら「六分の一(one sixth)」、5/9なら「九分の五(five ninths)」のように読みます。

3 ¼などのように整数を分数の前につけた形のものを帯分数(mixed number)といいます。読み方は「三と四分の一(three and one fourth)」のように読みます。

整数と整数の間の連続する部分を含んだ数のことを実数(real number)といいます。実数のうち、分数であらわせる数のことを有理数(rational number)、そうでないものを無理数(irrational number)といいます。円周率(pi=π)が無理数の代表的なものです。実数と虚数(imaginary number)をあわせたものを複素数(complex number)といいます。

数は、掛け算(multiplication)、割り算(division)、足し算(addition)、引き算(subtraction)などの乗除加減(MDAS)ができます。掛け算は、3×2のような形で、3をかけられる数(multiplicand)、2をかける数(multiplier)とよびます。読み方は「3 times 2」あるいは「3 multiplied by 2」といいます。掛け算の結果を積(product)といいます。掛け算は交換法則(commutative property)が成り立つので、3×2=2×3になります。また結合法則(associative law)により、3×(2×4)=(3×2)×4になります。割り算は、13÷4などの形で、この13の部分を割られる数(dividend)、4を割る数(divisor)といいます。読み方は「13割る4(13 divided by 4)」で、この結果(3余り1)の3を商(quotient)、1を剰余(remainder)といいます。

足し算は、1+2のような形で、足した結果のことを和(sum)といいます。掛け算と同じく、足し算も交換性(commutativity)と結合性(associativity)をもちます。引き算は8-2のような形で、8を引かれる数(minuend)、2を引く数(subtrahend)とよび、結果のことを差(difference)といいます。

べき乗(exponent)とは、同じ数を複数回掛け算したもので、2×2×2は23のようにあらわします。読み方は「二の三乗(two raised to the third power / two raised to the power of three / the third power of two)」のようになります。この2の部分を底(base)、3の部分をべき指数(exponentまたはpower)といいます。

演算の順序は、PEMDASと覚えます。Pはかっこ(Parenthesis)、Eはべき乗、MDは掛け算と割り算、ASは足し算と引き算です。優先順位はP>E>MD>ASの順です。

べき根(radical)は、根号(radical sign / radix)をつけてあらわします。√をつけたものを平方根(square root)、3√は立方根(cube root)、n√はn乗根(n-th root)といいます。√200を10√2にするようなことを根号の中を簡単にする(simplify radicals)といいます。小数の形でべき根の近似値を求めることを開方(evolution)といいます。分母を有理数に書き換えることを分母を有理化する(rationalize denominators)といいます。

(4+3)×2=4×2+3×2になります。これを分配法則(distributive property)とよびます。

いままであげてきた定数(constant)に対して、値が変わる変数(variable)は、xyなどの文字であらわします。変数に定数を入れることを「xに5を代入する(substitute 5 for x)」のように言います。

4×xのことを4xのようにあらわします。ここの4の部分を係数(coefficient)といいます。

x2-4x+1 のような、文字や数や累乗を交えて足し引きした式を多項式(polynomial)といいます。多項式は複数の項(term)を足したものです。項が1つだけの式を単項式(monomial)、項が2つの式を二項式(binomial)、項が3つの式を三項式(trinomial)といいます。多項式には次数(degree)があり、3x2-8x4+x5の次数は5次(5th degree)になります。3x-2は1次式(1st degree polynomial)、8は0次式(zero degree polynomial)です。

多項式は因数の積(product of factors)の形に書き換えることができるものがあります。この作業のことを因数分解(factoring)といいます。

3x – 4 = 2x + 5

のように、変数xにある特定の数を入れた場合にのみ等式が成り立つような式のことを方程式(equation)と呼びます。この方程式を満たすxを求めることを、方程式を解く(solve)といいます。

方程式は一般にf(x)=0の形式であらわされます。このf(x)が一次多項式のものを一次方程式(linear equation)、二次多項式のものを二次方程式(quadratic equation)といいます。

二次方程式には解の公式(quadratic formula) x=(-b±√(b2-4ac))/2aがあります。b2-4ac > 0の場合は、解(solution)は実数2つになります。b2-4ac = 0の場合は、解が1つ(重解)、b2-4ac < 0の場合は、虚数2つが解となります。

等号ではなく不等号がついていると不等式(inequality)になります。x≧1のことを「x大なりイコール1(x is greater than or equal to 1)」、x < 3のことを「x小なり3(x is less than 3)」と読みます。

関数(function)y=f(x)xy座標上にあらわしたグラフ(graph)をよく目にします。x軸(x-axis)を横線、y軸(y-axis)を縦線にすることが多いです。そこにプロット(plot)された点の位置を(2, 3)のような座標(coordinate)であらわします。(2, 3)とはx座標0の位置からx軸にそって+2、y座標0の位置からy軸にそって+3移動させた位置を示します。座標(0, 0)を原点(origin)といいます。

f(x)=ax+b (a≠0) のような関数を一次関数(line)といいます。一次関数 y=ax+b をグラフ上にあらわすと直線の形になります。aを傾き(slope)といい、座標(0, b)をy切片(y-intercept)といいます。このグラフがx軸を交差する点 (-b/a, 0)をx切片(x-intercept)といい、ここのx座標 x=-b/aこそが、一次方程式 ax+b=0 の解にほかなりません。

f(x)=ax2+bx+c (a≠0) のような関数を二次関数(parabola)といいます。二次関数y= ax2+bx+c をグラフ上にあらわすと、ある点を境に左右対称に両側に上向きに立つ(a>0の場合)か下向きに立つ(a<0の場合)ような形になります。y= ax2+bx+cをプロットしたとき、x軸と交わる点が2個ある場合と、1個しかない場合と、1個もない場合とがあります。2個ある場合は、二次方程式ax2+bx+c=0の解は実数2つになります。1個しかない場合は、解が1つ(重解)、1個もない場合は、虚数2つが解となります。

関数y=f(x)に対し、x=f-1(y)とあらわすことができる場合、このようなf-1(y)を逆関数(inverse function)といいます。

関数y=ax (where a>1) のようなものを指数関数(exponential)といいます。指数関数の逆関数はy=logaxとなり、このような関数を対数(logarithm)といい、aを底(base)といいます。a=10のときは特別にy=logxとあらわします。これを常用対数(common logarithm)といいます。

さて、$1を年利100%で運用していくと、1年後には1×(1+1)=$2になります。これを半年につき50%の複利で運用することにすると、1年後には1×(1+0.5)2=$1.52=$2.25になります。3ヶ月につき25%の複利にすると1年後は1×(1+0.25)4=$1.254=$2.4414062…となります。毎月100/12%の複利にすると1年後は1×(1+1/12)12=$2.6130352…、1年を100分割して各期ごとに1%の複利にすると1年後には1×(1+1/100)100=$2.7048138…、1年を10000分割して各期ごとに0.01%の複利にすると1年後には1×(1+1/10000)10000=$2.7181459…、のように、だんだん期間を細かくしていくと1年後の金額は2.7182818…という無理数に近づいていきます。この2.7182818…のことをeという文字であらわします。

対数関数y=logaxa=eのときはy=lnxとあらわします。これを自然対数(natural logarithm)といいます。eのことを自然対数の底といいます。

Cool Math

【2017年11月4日追記】

数列(sequence)とは、 {1, 4, 9, 16, 25, 36, …} や {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …} のように、あるパターンに従った一続きの数たちのことです。数列 {a1, a2, a3, …} のそれぞれのanのことをその数列の項(term)といいます。前者の数列は an=an後者はフィボナッチ数(Fibonacci Number)といい、an=an-1+an-2のように一般にあらわされます。

{0, 3, 6, 9, 12, …} や {10, 5, 0, -5, -10, …} のように、項と項の間の差(difference)が同じになる数列を等差数列(arithmetic sequence)といいます。前者の数列を一般的な式であらわすとan=3n-3、後者の数列はan=10-5(n-1)=-5n+15となります。 {3, 6, 12, 24, …} や {3/2, -1/3, 2/27, -4/243, …} のように、項にある比率(ratio)を掛け算して次の項にしていくような数列のことを等比数列(geometric sequence)といいます。前者はan=3×2n-1、後者はan=(3/2)(-2/9)n-1です。

数列の和(sum)のことを級数(series)といいます。級数はギリシャ文字のΣをつかってあらわすのが一般的です。

等差数列の和のことを等差級数(arithmetic series)といいます。数学者Carl Friedrich Gauss (1777-1855)という人はその昔、9歳の頃、1+2+3+…+99+100まで順に足していったらどうなるか、その答えを導き出して大いに驚かれたといいます。その種明かしは、一番端っこの1と100を足すと101、1つ内側の2と99を足すとこれも101、そのまた内側の3と98を足してもこれも101、…というふうに、足して101になるペアが50組あることに着目し、101×50=5050となるのでした。一般に、1からnまでの足し算は、足して(n+1)になるペアがn/2個あることになります。つまり等差級数Σnk=1 k = 1+2+…+(n-1)+n = (n+1)×(n/2) = n(n+1)/2となります。

等比数列の和を等比級数(geometric series)といいます。一般に、等比数列 {a1, a1r, a1r2, a1r3, …} の和Σnk=1 a1rk-1 = a1((1-rn)/(1-r)) になります。これを証明する(prove)のに、まずn=1の場合について考えます。Σ1k=1 a1rk-1 = a1((1-r1)/(1-r)) = a1なので、成り立ちます。次に、n=kのときに Σkk=1 a1rk-1 = a1((1-rk)/(1-r))が真(true)だと仮定したとき、n=k+1にしてもそれが真かどうかをみます。

Σk+1k=1 a1rk-1 = a1((1-rk)/(1-r))+a1r(k+1)-1 = a1((1-rk)/(1-r))+a1rk 
= a1((1-rk)/(1-r) + rk)
= a1((1-rk)/(1-r) + (1-r)rk/(1-r))
= a1(1-rk+rk-rk+1)/(1-r)
= a1(1-rk+1)/(1-r)

となるので、n=k+1でも真であることがわかります。n=1のとき真で、n=kのときに真と仮定したものがn=k+1でも真の場合、すべての場合について真であることが証明できます。このようなやり方を数学的帰納法(mathematic induction)といいます。

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